MATERI GRAF

v GRAF

Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.

Sejarah graf terjadi pada tahun 1736, pada masalah Königsberg seperti gambar dibawah ini

Graf yang merepresentasikan jembatan Königsberg:  

Simpul (vertex) à menyatakan daratan 

Sisi (edge) à menyatakan jembatan

Graf G = (V, E), yang dalam hal ini:    

V  = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul (vertices)  = { v1 , v2 , ... , vn }      

E = himpunan sisi  (edges) yang menghubungkan sepasang  simpul  = {e1 , e2 , ... , en }

ð Pada Gambar diatas:

·        G1 adalah graf dengan:

V = { 1, 2, 3, 4 }    

E =  { (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4) }

·        G2 adalah graf dengan 

V = { 1, 2, 3, 4  }    

E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 4) }      

   = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}

·        G3 adalah graf dengan

V = { 1, 2, 3, 4  }

E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 4), (3, 3) } 

   = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8}

         Pada G2, sisi  e3 = (1, 3) dan sisi e4 = (1, 3) dinamakan sisi ganda (multiple edges atau paralel edges) karena kedua sisi ini menghubungi dua buah simpul yang sama, yaitu simpul 1 dan simpul 3. 

Pada G3, sisi e8 = (3, 3) dinamakan gelang atau kalang (loop) karena ia berawal dan berakhir pada simpul yang sama.   

v Jenis-Jenis Graf

Ø Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka graf digolongkan menjadi dua jenis:

1.     Graf sederhana (simple graph).

Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graf sederhana. G1 pada Gambar diatas adalah contoh graf sederhana.

2.     Graf tak-sederhana (unsimple-graph).

Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan  graf tak-sederhana (unsimple graph). G2 dan G3 pada Gambar diatas adalah contoh graf tak-sederhana.

Ø Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf  dibedakan atas 2 jenis:

1.     Graf tak-berarah (undirected graph)

Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah. Tiga buah graf pada Gambar 2 adalah graf tak-berarah.

2.     Graf berarah (directed graph atau digraph)

Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah. Dua buah graf pada Gambar 3 adalah graf berarah.

Jenis	Sisi	Sisi ganda dibolehkan?	Sisi gelang dibolehkan?
Graf Sederhana	Tak Berarah	Tidak	Tidak
Graf Ganda	Tak Berarah	Ya	Tidak
Graf Semu	Tak Berarah	Ya	Ya
Graf Berarah	Berarah	Tidak	Ya
Graf-ganda Berarah	Berarah	Ya	Ya

v Penerapan Graf

1.     Rangkaian Listrik

2.     Isomer Senyawa Kimia Karbon

  

3.     Jaringan Semantik

4.     Pengujian Program Rekayasa Perangkat Lunak

v Terminologi Graf

1.     Ketetanggaan (Adjacent)

Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung. Tinjau graf G1 : simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3 simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul 4.

2.     Bersisian (Incidency)

Untuk sembarang sisi e = (vj, vk) dikatakan  e bersisian dengan simpul vj , atau  e bersisian dengan simpul vk Tinjau graf G1: sisi (2, 3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3 sisi (2, 4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4,tetapi sisi (1, 2) tidak bersisian dengan simpul 4.

3.     Simpul Terpencil (Isolated Vertex)

Simpul terpencil ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya.  Tinjau graf G3: simpul 5 adalah simpul terpencil.

4.     Graf  Kosong (null graph atau empty graph)

Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong (Nn).  Graf N5 :

5.     Derajat (Degree)

Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut.

Notasi: d(v)

Tinjau graf G1:  d(1) = d(4) = 2   

     d(2) = d(3) = 3

 Tinjau graf G3:  d(5) = 0  à simpul terpencil       

 d(4) = 1   à simpul anting-anting (pendant vertex)

 Tinjau graf G2:  d(1) = 3  à bersisian dengan sisi ganda        

 d(2) = 4   à bersisian dengan sisi gelang (loop)

Tinjau graf G4:  din(1) = 2; dout(1) = 1  

din(2) = 2; dout(2) = 3 

din(3) = 2; dout(3) = 1  

din(4) = 1; dout(3) = 2

Lemma Jabat Tangan.  Jumlah derajat semua simpul pada suatu graf adalah genap, yaitu dua kali  jumlah sisi pada graf tersebut.

Dengan kata lain, jika G = (V, E), maka

Tinjau graf G1:  d(1) + d(2) + d(3) + d(4) = 2 + 3 + 3 + 2 = 10 = 2 Xjumlah sisi = 2X 5

 Tinjau graf G2:  d(1) + d(2) + d(3) = 3 + 3 + 4 = 10 = 2Xjumlah sisi = 2X5

 Tinjau graf G3:  d(1) + d(2) + d(3) + d(4) + d(5)  = 2 + 2 + 3 + 1 + 0 = 8 

                                                                                = 2  jumlah sisi = 2X4

Akibat dari lemma (corollary):

Teorema: Untuk sembarang graf G, banyaknya simpul berderajat ganjil selalu genap.

Contoh:

Diketahui graf dengan lima buah simpul. Dapatkah kita menggambar graf tersebut jika derajat masing-masing simpul adalah: 

(a) 2, 3, 1, 1, 2 

(b) 2, 3, 3, 4, 4

 Penyelesaian:  

(a)    Tidak dapat, karena jumlah derajat semua simpulnya ganjil 

(2 + 3 + 1 + 1 + 2 = 9).

(b)    Dapat, karena  jumlah derajat semua simpulnya genap        

(2 + 3 + 3 + 4 + 4 = 16).

6.     Lintasan (Path)

Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujuan vn di dalam graf G ialah   barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk v0, e1, v1, e2, v2,... , vn –1, en, vn sedemikian sehingga e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2), ... , en = (vn-1, vn) adalah sisi-sisi dari graf G.

Tinjau graf G1: lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan dengan barisan sisi (1,2), (2,4), (4,3).

Panjang lintasan adalah jumlah sisi dalam lintasan tersebut. Lintasan 1, 2, 4, 3 pada G1   memiliki panjang 3.

7.     Siklus (Cycle) atau Sirkuit (Circuit)

Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus.  Tinjau graf G1: 1, 2, 3, 1 adalah sebuah sirkuit.

Panjang sirkuit adalah jumlah sisi dalam sirkuit tersebut. Sirkuit 1, 2, 3, 1 pada G1 memiliki panjang 3.

8.     Terhubung (Connected)

Dua buah simpul v1 dan simpul v2 disebut terhubung jika terdapat lintasan dari v1 ke v2.  G disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk setiap pasang simpul vi dan vj dalam himpunan V terdapat lintasan dari vi ke vj.  Jika tidak, maka G disebut graf tak-terhubung (disconnected graph). 

Contoh graf tak-terhubung:

         Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tidak berarahnya terhubung (graf tidak berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya). Dua simpul, u dan v, pada graf berarah G disebut terhubung kuat (strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v dan juga lintasan berarah dari v ke u.

  Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi terhubung pada graf tidak berarah nya, maka u dan v dikatakan terhubung lemah (weakly coonected).  Graf berarah G disebut graf terhubung kuat (strongly connected graph) apabila untuk setiap pasang simpul sembarang u dan v di G, terhubung kuat. Kalau tidak, G disebut graf terhubung lemah.

9.     Upagraf (Subgraph) dan Komplemen Upagraf

Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graf. G1 = (V1, E1) adalah upagraf (subgraph) dari G jika V1   V dan E1  E.

 Komplemen dari upagraf G1 terhadap graf G adalah graf G2 = (V2, E2) sedemikian sehingga E2 = E - E1 dan V2 adalah himpunan simpul yang anggota-anggota E2 bersisian dengannya.

Komponen graf (connected component) adalah jumlah maksimum upagraf terhubung dalam graf G. Pada graf berarah, komponen terhubung kuat (strongly connected component) adalah jumlah maksimum upagraf yang terhubung kuat.

10.             Upagraf Rentang (Spanning Subgraph)

      Upagraf G1 = (V1, E1) dari G = (V, E) dikatakan upagraf rentang jika V1 =V (yaitu G1 mengandung semua simpul dari G). 

11.             Cut-Set

Cut-set dari graf terhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung. Jadi, cut-set selalu menghasilkan dua buah komponen. 

Pada graf di bawah, {(1,2), (1,5), (3,5), (3,4)} adalah cut-set. Terdapat banyak cut-set pada sebuah graf terhubung. 

 Himpunan {(1,2), (2,5)} juga adalah cut-set, {(1,3), (1,5), (1,2)} adalah cut-set, {(2,6)} juga cut-set,  tetapi {(1,2), (2,5), (4,5)} bukan cut-set sebab himpunan bagiannya, {(1,2), (2,5)} adalah cut-set.

12.             Graf Berbobot (Weighted Graph)

Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot).

v Graf Khusus

a)     Graf Lengkap (Complete Graph)

Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan Kn. Jumlah sisi pada graf lengkap yang terdiri dari n buah simpul adalah n(n – 1)/2.

b)    Graf Lingkaran

Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua. Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan Cn.

c)     Graf Teratur (Regular Graphs)

Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur. Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur derajat r. Jumlah sisi pada graf teratur adalah nr/2.

d)    Graf Bipartite (Bipartite Graph)

Graf G yang himpunan simpulnya dapat dipisah menjadi dua himpunan bagian U dan V,  sedemikian sehingga setiap sisi pada G menghubungkan sebuah simpul di U ke sebuah simpul di V disebut graf bipartit dan dinyatakan sebagai G(U, V).

Ø Graf Isomorfik

Yaitu Dua buah graf yang sama tetapi secara geometri berbeda disebut graf yang saling isomorfik. 

      Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisisisi keduaya sedemikian sehingga hubungan kebersisian tetap terjaga.Dengan kata lain, misalkan sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G1, maka sisi e’ yang berkoresponden di G2 harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ yang di G2.

        Dua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama, kecuali penamaan simpul dan sisinya saja yang berbeda.  Ini benar karena sebuah graf dapat di gambarkan dalam banyak cara.

     Dari definisi graf isomorfik dapat dikemukakan bahwa dua buah graf isomorfik memenuhi ketiga syarat berikut [DEO74]:

1.     Mempunyai jumlah simpul yang sama.

2.     Mempunyai jumlah sisi yang sama

3.     Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu

     Namun, ketiga syarat ini ternyata belum cukup menjamin. Pemeriksaan secara visual perlu dilakukan.