RELASI DAN FUNGSI

A. Relasi

     Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Dalam mengerjakan soal relasi dapat dikerjakan menggunakan tiga metode yaitu diagram panah, diagram cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

• Ada 4 cara menyatakan relasi, yaitu:
  1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan
  2. Dengan Diagram Panah
  3. Dengan Diagram Cartesius
  4. Dengan Rumus

Contoh soal: 

         Jika diketahui himpunan A = {Eko, Rina, Tono, Dika}, B = {Merah, Hitam, Biru},

maka relasi “suka dengan warna” himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

Diagram panah

• Diagram Cartesius
  

• Himpunan pasangan berurutan

R = {(Eko, Merah), (Rina, Hitam), (Tono, Merah), (Dika, Biru)}

• Dengan Rumus

Contoh :
jika di ketahui himpunan A={0,1,2,5}; B={1,2,3,4,5,6}, maka relasi" satu kurangnya dari" himpunan A ke himpunan B dapat di sajikan dengan rumus.
jawab:
f(x) = x+1, di mana x = {0,1,2,5} dan f(x) = {1,2,3,4,6}

B. Sifat-sifat relasi :

• Sifat Refleksif :

Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika untuk p € P berlaku (p,p) €  R.

Contoh :

Diberikan Himpunan P = {1,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan hasil adalah himpunan S = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Relasi R tersebut bersifat reflektif  sebab setiap angggota himpunan P berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.

• Sifat Simetris :

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat simetris, apabila untuk setiap (x,y) € R berlaku (y,x) €  R.

Contoh :

Diberikan himpunan P ={1,2,3}.

Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan R ={(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat simetris untuk setiap (x,y) € R, berlaku (y,x) € R.

• Sifat Transitif :

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R bersifat Transitif, apabila untuk setiap (x,y) € R dan (y,z) € R maka berlaku (x,z) € R.

Contoh :

Diberikan himpunan P ={1,2,3}. Didefinisikan relasi  pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan  R= {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}.

Relasi R tersebut bersifat Transitif sebab (x,y) € R din (y,z) € R  berlaku (x,z) € R.

• Sifat Antisimetris

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap (x,y) € R dan (y,x) € R berlaku x=y.

Contoh :

Diberikan himpunan C = {2,4,5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C dengan R = {(a,b) € a kelipatan b, ab € C} sehingga diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}.

Relasi R tersebut bersifat antisimetris.

• Sifat Ekuivalensi

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R disebut relasi ekivalensi jika dan hanya jika relasi R memenuhi sifat refleksif, simetris, dan transitif.

Contoh :

Dibmerupakan relasi ekivalensierikan himpunan P = {1,2,3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan R={(1,1),(1,2),(2,2),(2,1),(3,3)}. Relasi R tersebut bersifat refleksif, simetris din transitif. Oleh karena itu relasi R merupakan relasi ekivalensi.

C. Fungsi

      Fungsi f adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain).

Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range). Untuk memberi nama suatu fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f, g, dan huruf lainnya. Maka f(x), yang di baca “ f dari x “ menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x.

Misalkan : f(x) = x+ 2, maka f(3) = 3 + 2.

D. Sifat-Sifat Fungsi

1. Injektif (Satu-satu)

     Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f:A→B adalah fungsi injektif apabila a ≠  a’ berakibat f(a) ≠  f(a’) atau ekuivalen, jika f(a) = f(a’) maka akibatnya a = a’.

Contoh:

Fungsi f pada R yang didefinisikan dengan f(x) = x2 bukan suatu fungsi satu-satu sebab  f(-2) = f(2).

Adapun fungsi pada A = {bilangan asli}  yang didefinisikan dengan f(x) = 2x  adalah fungsi satu-satu, sebab kelipatan  dua dari setiap dua bilangan yang berlainan adalah berlainan pula.

2. Surjektif (Onto)

    Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah hasil  f(A)dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B, atau f(A) c B. Apabila f(A) = B, yang berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di A maka kita katakan f adalah suatu fungsi surjektif atau “f memetakan A Onto B”

Contoh:

Fungsi f: R→R yang didefinisikan dengan rumus f(x) = x2    bukan fungsi yang  onto karena himpunan bilangan negatif tidak dimuat oleh hasil fungsi tersebut 

Misal A = {a, b, c, d} dan B = {x, y, z} dan fungsi f: A → B yang didefinisikan dengan diagram panah adalah suatu fungsi yang surjektif karena daerah hasil f adalah sama dengan kodomain

dari f (himpunan B).

3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu)

    Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi  yang injektif dan  surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A dan B berada dalam korespondensi satu-satu”.

Contoh:

1.

Relasi dari himpunan A = {a, b, c} ke himpunan B = {p,q, r} yang didefinisikan  sebagai diagram di samping adalah suatu fungsi yang bijektif.

2. Fungsi f yang memasangkan setiap negara di dunia dengan ibu kota negaranegara di dunia adalah fungsi korespondensi satu-satu (fungsi bijektif), karena  tidak ada satu kotapun yang menjadi ibu kota dua negara yang berlainan.

E. Jenis-Jenis Fungsi

Jenis-jenis fungsi yang perlu kita ketahui diantaranya adalah :

a). Fungsi Konstan
     Suatu fungsi f : A?B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan. Apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan.

b). Fungsi Identitas
      Fungsi Identitas adalah suatu fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) = x. Fungsi identitas sering dinyatakan dengan lambang I sehingga I(x) = x.

c). Fungsi Modulus Atau Fungsi Harga Mutlak
      Fungsi modulus adalah fungsi f yang memuat bentuk nilai mutlak.

d). Fungsi Linear

      Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ? 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.

e). Fungsi Kuadrat
      Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ? 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.

f). Fungsi Tangga (Bertingkat)
     Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar.

g). Fungsi Modulus
     Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.

h). Fungsi Ganjil Dan Fungsi Genap
     Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ? –f(x) maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.

i). Fungsi Invers
       Semua himpunan yang dipetakan oleh fungsi mempunyai invers. Invers dari himpunan ersebut dapat berupa fungsi atau bukan fungsi. Suatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f –1 jika dan hanya jika fungsi f bijektif atau dalam korespondensi satu-satu.

Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara berikut ini :

a. Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.
b. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam y dan nyatakanlah x = f(y).
c. Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f –1(x).

j). Aljabar Fungsi
a. Penjumlahan f dan g didefinisikan =>  (f + g) (x) = f(x) + g(x).
b. Pengurangan f dan g didefinisikan =>  (f – g)(x) = f(x) – g(x).
c. Perkalian f dan g didefinisikan =>  (f +g)(x) = f(x) + g(x).

k). Fungsi Komposisi
     Komposisi fungsi adalah penggolongan beberapa fungsi menjadi sebuah fungsi