MATERI HIMPUNAN

v Pengertian Himpunan

·       Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Anggota himpunan disebut anggota atau elemen himpunan.

·        Himpunan  merupakan kumpulan dari elemen-elemen yang di defenisikan menjadi satu kesatuan yang jelas

·        Himpunan adalah sekelompok / kumpulan benda atau objek yang anggotanya dapat didefinisikan / ditentukan dengan jelas.

·        Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
·        Objek di dalam himpunan di sebut elemen, unsur, atau anggota.

Contoh:
1. A adalah himpunan nama kota di Jawa Tengah. Anggota himpunan A adalah Purwokerto, Semarang, Kebumen, Solo, dan lain-lainnya.
2.  B adalah himpunan bilangan bulat lebih dari -3. Anggota himpunan B adalah bilangan -2,-1,0,1,2,3, ...

v Cara Penulisan suatu Himpunan
Untuk menyatakan sebuah himpunan, ada 4 cara penulisan yang bisa dilakukan. yaitu:

1.     Enumerasi
Enumerasi adalah cara menyatakan himpunan dengan menuliskan seluruh anggota himpunan di dalam kurung kurawal. Setiap anggota di dalamnya dipisahkan dengan tanda koma.
Contoh:
-       A = { jeruk, salak, jambu, semangka, mangga }
(untuk himpunan yang anggotanya sedikit atau terbatas)
-       B = { Aceh, Medan, Padang, Palembang, Bengkulu, Lampung, ....., Makasar }
(untuk himpunan yang anggotanya banyak tapi terbatas)
-       C = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, ..... }

2.     Simbol baku
Ada beberapa simbol tertentu yang sudah disepakati untuk menyatakan sebuah himpunan.
Contoh:
-       Simbol P biasanya digunakan utnuk menyatakan himpunan bilangan bulat positif, sedangkan
-        R digunakan untuk menyatakan sebuah himpunan yang berisi bilangan riil.

3.     Notasi pembentukan himpunan
Himpunan juga bisa dinyatakan dengan cara menulis ciri-ciri umum dari anggota yang ada di dalam himpunan tersebut.
Contoh:
-       A = {x|x adalah himpunan bilangan riil}
-       A = { x I x < 7, x bilangan asli }
Dibaca: himpunan setiap x sedemikian hingga x adalah kurang dari 7 dan x adalah bilangan asli.
-       B = { (x,y) I y + x = 7, x dan y bilangan asli }
Dibaca: himpunan pasangan x dan y sedemikian hingga y ditambah x sama dengan 7 untuk x dan y adalah bilangan asli.

4.     Diagram venn
adalah cara menyatakan sebuah himpunan dengan menggambarkannnya dalam bentuk grafis. masing masing himpunan digambarkan dalam sebuah lingkaran dan dilingkupi olah himpunan semesta yang dinyatakan dalam bentuk persegi empat.
Contoh:
-       Dalam penelitian yang dilakukan pada sekelompok orang, dipeoleh data 68 orang sarapan dengan nasi, 50 orang sarapan dengan roti, dan 8 orang sarapan nasi dan roti, sedangkan 35 orang sarapannya tidak dengan nasi ataupun roti. Hitung banyaknya orang dalam kelompok tersebut!
Jawaban:

Banyak orang yang ada di dalam kelompok tersebut adalah 60 + 8 + 42 + 35 = 145 orang. Jadi, banyaknya orang dalam kelompok tersebut ada 145 orang.

v Jenis-jenis Himpunan
Himpunan ada bermacam-macam. Misalnya, himpunan nol, himpunan kosong, himpunan berhingga, himpunan tak berhingga, himpunan sama, himpunan ekuivalen, dan himpunan semesta.

1.     Himpunan Nol

Himpunan nol adalah himpunan yang hanya memiliki satu anggota yaitu nol. Himpunan nol dilambangkan dengan {0}.
Contoh:
Himpunan bilangan cacah yang anggota

2.     Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dilambangkan {} atau .
Contoh:
- himpunan mahluk hidup yang tidak memerlukan oksigen.
- himpunan bilangan negatif lebih dari satu.

3.     Himpunan Sama

Himpunan A dan B dikatakan himpunan sama bila setiap anggota himpunan A dan B adalah sama, dituliskan A = B.
Contoh:
-       C = {d,a,p,u,r} dan D = {p,u,d,a,r} maka C = D
-       Jika A = { 2, 3, 4, 5  } dan B = { 4, 2, 3, 5} maka  A = B
-      Setiap anggota himpunan C merupakan anggota himpunan D, berlaku sebaliknya. Dengan demikian, himpunan C = D.

4.     Himpunan Ekivalen

Himpunan P dan Q dikatakan ekuivalen jika banyaknya anggota P sama dengan banyaknya anggota himpunan Q atau n(P) = n(Q), dituliskan .
Contoh:
R = {1,2,3,4,5}, n(R) = 5
S = {a,i,u,e,o}, n(S) = 5
Karena n(R) = n(S), maka himpunan R ekuivalen dengan himpunan S atau R~S

5. Himpunan berhingga yaitu himpunan yang jumlah elemennya berhingga.

Contoh :

A = { x ê x  adalah 3 bilangan  ganjil pertama } = { 1, 3, 5 }

B = { x ê 5 < x < 15 ,  x = bilangan genap } =  { 6, 8, 10, 12, 14 }

6. Himpunan tak berhingga yaitu himpunan yang jumlah elemennya tidak berhingga.

Contoh :

A = { x ç x  adalah bilangan genap >  2 } = { 4, 6, 8, 12, 14, ……… }

B = { x ç x  adalah bilangan asli > 5 } = { 6, 7, 8, 9, 10, ……..…… }   

7. Himpunan Semesta ( Universal set ), yaitu himpunan yang mencakup semua himpunan yang sedang dibicarakan.

Contoh :

Jika A  =  {1, 2, 3, 4 } , B = {5, 6, 7, 8} dan  C = { 9, 10, 11, 12,}

maka himpunan semestanya N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,}

v Macam-macam Himpunan :

1. Himpunan bagian (Subset)

yaitu himpunan yang semua elemennya ada pada himpunan yang lain.

Contoh :

Jika A  =  { 3, 4, 5, 6 } dan B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

maka  A Ì B  ( A subset dari B ), sedangkan  B É A  ( B superset dari A) karena B mengandung semua elemen dari A.

2. Himpunan Saling Lepas

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang sama.

Contoh :

L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 }

G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }

Coba kalian perhatikan, adakah anggota himpunan L dan G yang sama ?

Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yang sama maka himpunan L dan G adalah dua himpunan yang saling lepas

3. Himpunan tak saling lepas

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika kedua himpunan itu mempunyai anggota yang sama  

Contoh :

P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }

Himpunan P dan himpunan Q tidak saling lepas karena mempunyai anggota yang sama (persekutuan) yaitu 2, 4, 6, dan 8.

4. Himpunan Kuasa

yaitu himpunan yang elemen-elemennya merupakan subset dari himpunan yang bersangkutan. Jika jumlah subset dari sebuah himpunan dengan n elemen = 2ⁿ maka jumlah elemen himpunan kuasa juga sama dengan 2ⁿ.

Contoh :

 A =  { 2, 4 } maka himpunan bagiannya ada 2² = 4, yaitu :

{ 2  }  Ì  {2, 4}, { 4  }  Ì  {2, 4}, {2, 4}  Ì  {2, 4,}, {   }  Ì  {2, 4} maka himpunan kuasa A = {2,4}  adalah {{2},{4},{2,4},{  }}

5. Himpunan Komplemen, yaitu himpunan yang elemen-elemennya tidak ada di himpunan tersebut tapi ada di himpunan semestanya.
Contoh :
Jika A = { bilangan bulat positif}, B  =  {1, 2, 3, 4, 5 } dan C = {1, 2, 3,...} maka himpunan komplemen dari C adalah C^c = {4, 5, 6 ...} dan himpunan komplemen dari B adalah B^c =  { 6, 7, 8 … }

6. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dilambangkan {} atau .
Contoh:
- himpunan mahluk hidup yang tidak memerlukan oksigen.
- himpunan bilangan negatif lebih dari satu.

7. Bilangan Real

Bilangan real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasioanal dan

bilangan irrasioanal sendiri.

Contoh :

0, 1, 2, ½, 4/7, 55/7, √2, √3, √5, .... dan seterusnya.

8.   Bilangan Rasional

Bilangan Rasional yaitu bilangan dalam bentuk a/b, dengan a dan b anggota bilangan

bulat dan b  ≠ 0.

Contoh :

1/4 menjadi a = 1 dan b = 4

9.  Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional adalah bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan, atau bilangan yang bukan bilangan rasional.
Contoh :
√2, √3, √5

NB :
√9 = 3, maka √9 bukan bilangan irrasional.

10.  Bilangan Bulat
Bilangan bulat yaitu bilangan yang terdiri atas bilangan negatif, bilangan 0 (nol), dan bilangan postitif, yaitu : ..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... , dan seterusnya.

11.    Bilangan Cacah
Bilangan cacah yaitu bilangan yang dimulai dari angka 0 (nol) sampai tak terhingga, yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., dan seterusnya.

12. Bilangan Asli
Bilangan Asli yaitu bilangan yang dimulai dari angka 1 (satu) sampai tak terhingga, yaitu: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., dan seterusnya.

13. Bilangan Prima
Bilangan Prima yaitu bilangan asli yang tepat mempunyai 2 faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri, yaitu: 2, 3, 5, 7, 11, 13,  ..., dan seterusnya.

v Operasi pada Himpunan

1.     Irisan

Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan Himpunan B. A irisan B ditulis A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}
Contoh :
A= {1, 2, 3, 4, 5}
B= {2, 3, 5, 7, 11}
A ∩ B = {2, 3, 5}

2.     Gabungan

Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B. A gabungan B ditulis A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}
Contoh :  
A= {1, 2, 3, 4, 5}
B= {2, 3, 5, 7, 11}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 11}

3.     Selisih
Selisih dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan
elemen A dan bukan elemen B. A Selisih B ditulis A-B = {x | x ∈ A atau x Ï B}
Contoh :
A= {1, 2, 3, 4, 5}

B= {2, 3, 5, 7, 11}

A-B = {1, 4}

4.     Komplemen
Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta S adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen S yang bukan elemen A. Komplemen A ditulis A1 atau A^c = {x | x ∈ S dan x Ï A}
Contoh :
A= {1, 2, … , 5}
S = {bil. Asli kurang dari 10}
A^{c =} {6, 7, 8, 9}

5.     Perkalian Kartesian

Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua Dari himpunan B. Notasi: A X B = {( a, b ) | a є A dan b є B }
Contoh:
Jika A = { 1, 2, 3} dan B { c, d } maka
A X B = { (1, a ), ( 1, b ), ( 2, a ), ( 2, b ), ( 3, a ), ( 3, b) }